Zašto je poznati matematičar želeo ovaj simbol na nadgrobnom spomeniku?

Gaus je iza sebe ostavio izvanredna matematička postignuća, ali je želeo da na njegovom nadgrobnom spomeniku bude urezan pravilni sedamnaestougao.

Johan Karl Fridrih Gaus (1777-1855) je kao simbol svoje zaostavštine izabrao pravilni sedamnaestougao. Taj izuzetno simetrični sedamnaestostrani oblik imao je glavnu ulogu u radu koji je Gaus smatrao jednim od svojih najvećih doprinosa matematici, piše Scientific American.

Sa samo 18 godina, Gaus je pomoću sedamnaestougla rešio klasični problem koji je zbunjivao matematičare više od 2.000 godina. Putovanje kroz tu istoriju otkriva duboke veze između antičke koncepcije oblika kao crteža i modernog viđenja jednačina koje ih određuju.

Preporučujemo

Starogrčka geometrija

Stari Grci su bili izvrsni u geometriji, stavljajući poseban naglasak na konstrukcije napravljene pomoću šestara i lenjira. Sa dve date tačke, šestar crta krug čiji je centar u jednoj od tih tačaka i koji prolazi kroz drugu tačku. Lenjirom se crtaju prave linije između tačaka. Nijedan instrument nema oznake na sebi, tako da ne mogu meriti dužine ili uglove.

Konstrukcija oblika pomoću šestara i lenjira potiče iz Euklidovih „Elemenata“, jednog od najznačajnijih udžbenika ikada. Poput modernih matematičara, Euklid je hteo da izvede čitavu geometriju iz minimalnog broja pretpostavki, tj. postulata. Umesto puke tvrdnje o postojanju oblika ili drugih geometrijskih objekata, Euklid je želeo da ih konstruiše eksplicitno iz najjednostavnijih elemenata: linija i krugova.

Na primer, kako pronaći središnju tačku linije od tačke A do tačke B. Prvo se šestarom nacrta krug čiji centar je tačka A, a kružnica prolazi kroz tačku B. Zatim se potupak ponovi tako da je centar u tački B, a kružnica prolazi kroz tačku A. Krugovi se seku u dvema tačkama. Pomoću lenjira se povežu te tačke – vertikalna linija seče početnu liniju tačno po sredini.

Ova konstrukcija predstavlja više od sečenja linije na dva jednaka dela. Stvara prav ugao između dve linije – što nije malo s obzirom na ograničena sredstva.

Takođe, povezivanje još nekoliko tačaka proizvodi jednakostranični trougao (sa jednakim uglovima). Svaka ivica trougla je takođe poluprečnik krugova. Krugovi su iste veličine i stoga sve stranice trougla imaju istu dužinu. Dakle, jednakostranični trouglovi se mogu konstruisati pomoću šestara i lenjira.

Zastoj

Od svih oblika koji se mogu konstruisati pomoću šestara i lenjira, pravilni poligoni su specijalni. Poligoni su zatvoreni oblici sa pravolinijskim ivicama, poput trouglova i pravougaonika (nasuprot zakrivljenim oblicima poput krugova ili nezatvorenih oblika kao što je slovo E).

Pravilni poligoni imaju najveću simetriju – sve njihove stranice imaju istu dužinu i svi njihovi uglovi imaju istu vrednost (kao kvadrati i jednakostranični trouglovi, ali različito od pravougaonika i rombova).

Konstrukcija nepravilnog trougla pomoću šestara i lenjira je veoma laka – samo povežete tri tačke linijama. Međutim, konstrukcija savršeno simetričnog jednakostraničnog trougla – pravilnog poligona ili mnogougla – zahteva elegantan rad.

Euklid je otkrio kako da konstruiše pravilne poligone sa tri, četiri i pet stranica, tj. jednakostranične trouglove, kvadrate i pravilne petouglove. Izveo je još nekoliko generalizacija iz tih osnovnih konstrukcija. Na primer, kad imate neki pravilni poligon, jednostavni manevar će proizvesti novi pravilni poligon sa duplo većim brojem strana.

Ovu proceduru udvostručavanja možete ponoviti koliko god puta želite. To znači da se pravilni poligoni sa tri, četiri i pet stranica mogu transformisati u pravilne poligone sa šest, osam i deset stranica, i tako dalje. Euklid je takođe pokazao kako od pravilnih poligona sa tri i pet stranica stvoriti pravilni petnaestougao.

Tu je došlo do zastoja. Euklid je znao da se pravilni mnogougao sa 3072 stranice može konstruisati u principu (trougao udvostručen deset puta), ali nije znao kako da konstruiše pravilni sedmougao ili jedanaestougao.

Da bude jasno, pravilni poligoni sa bilo kojim brojem stranica većim od dva postoje i mogu se konstruisati pomoću naprednijih alata. Iza Euklida je ostalo pitanje koji se mogu konstruisati pomoću samo šestara i lenjira. To pitanje je bilo bez odgovora dve hiljade godina, dok izvesni nemački tinejdžer nije uzeo olovku u ruke.

Matematika 18. veka stiže u pomoć

Do 1796, nijedan novi pravilni poligon se nije pridružio panteonu oblika koji se mogu konstruisati, ali su matematičari stekli veće znanje o konstrukcijama šestarom i lenjirom. Gaus je znao kako da svede problem konstruisanja pravilnog poligona na konstrukciju dela linije sa vrlo određenom dužinom.

U cilju konstruisanja sedamnaestougla, počnite sa jediničnim krugom (poluprečnik ima vrednost 1) i tačkom A na tom krugu. Ako bi se mogla odrediti tačka B koja je iznad A tačno sedamnaestinu obima kruga, to bi se moglo ponavljati po čitavom krugu, a tačke povezati lenjirom – i eto ga pravilni sedamnaestougao.

Matematičari su znali da se neka dužina može konstruisati tačno kad se može izraziti putem operacija sabiranja, oduzimanja, množenja, deljenja ili kvadratnog korena primenjene na cele brojeve. Jednačine za linije i krugove koriste samo tih pet operacija.

Gaus nije nikad zapravo nacrtao pravilni sedamnaestougao. Dokazao je da se taj oblik može konstruisati u principu izražavajući određenu dužinu x [cos(2π ⁄17)] putem pet algebarskih operacija koje šestar i lenjir dozvoljavaju.

Štaviše, Gaus je potpuno opisao koji pravilni poligoni se mogu konstruisati, a koji ne mogu. Tako da je Gaus ne samo okarakterisao oblik koji imaju svi pravilni poligoni koji se mogu konstruisati, već su on i kasnije Pjer Vancel opravdali Euklidove frustracije dokazujući da je nedokučivi pravilni sedmougao i jedanaestougao nemoguće konstruisati pomoću samo šestara i lenjira, pored bezbroj drugih oblika.

Biograf G. Voldo Danington kaže da je Gaus bio vrlo ponosan jer je rešio problem star više hiljada godina i da je rekao prijatelju da želi da pravilni sedamnaestougao bude prikazan na njegovom nadgrobnom spomeniku.

Nažalost, to se nije dogodilo, ali spomenik u Gausovom rodnom gradu Braunšvajgu ima urezanu 17-kraku zvezdu. Kamenorezac je izabrao zvezdu pošto je smatrao da ljudi ne mogu razlikovati sedamnaestougao od kruga. Da li bi se Euklid složio?

(Telegraf Nauka/Scientific American)