Rimanova hipoteza povezana sa faznim prelazima u kvantnim sistemima

Nova studija uspostavlja vezu između Rimanove hipoteze i dinamičkih faznih prelaza u inženjerski konstruisanim kvantnim sistemima, demonstrirajući efekat na kvantnom procesoru.

Prvi put predstavljena 1859. godine, Rimanova hipoteza je jedan od najtrajnijih nerešenih problema u matematici. Ona je u temelju delova kriptografije, kao i više od hiljadu teorema dokazanih pod pretpostavkom da je tačna.

Preporučujemo

Fizičari su predlagali fizičke ekvivalente ovoj matematičkoj tvrdnji. Cilj je bio da se Rimanova hipoteza preslika na nešto konkretno, poput energetskih nivoa kvantnog sistema. Nova studija kineskih autora povezuje hipotezu sa načinom na koji kvantni sistem evoluira tokom vremena.

„Mnogi su sugerisali da konačno rešenje Rimanove hipoteze možda neće doći iz polja algebre, već da je odgovor umesto toga ugrađen u fundamentalne zakone fizike“, kažu autori. „Motivisani ovom intuicijom... naš osnovni cilj je da ovaj poetični teorijski uvid pretvorimo u konkretne kvantno-fizičke interpretacije i da istražimo može li kvantna kompjuterska tehnologija otvoriti novi put za rešavanje ovog 160 godina starog problema u teoriji brojeva“.

Od energetskih nivoa do vremena

Rimanova zeta-funkcija je matematička suma beskonačno mnogo članova, tesno povezana sa disribucijom prostih brojeva. Sve njene netrivijalne nule nalaze se unutar uskog pojasa kompleksne ravni nazvane kritična traka. Riman je pretpostavio da svaka od njih ima realni deo od tačno 1/2, što ih sve postavlja na jednu liniju u sredini te trake – kritičnu liniju – ali niko još nije dokazao da to važi za sve njih.

Fizičari dugo pretpostavljaju vezu između zeta-nula i kvantne mehanike. Najuticajnija verzija ove ideje je Hilbert-Pojina hipoteza, koja kaže da bi nule mogle biti energetski nivoi neotkrivenog kvantnog sistema.

Ta potraga se pokazala teškom. Studija ide drugim putem. „Postavili smo pitanje šta ako koristimo vreme umesto energije kao našu centralnu varijablu“, objašnjavaju istraživači, ukazujući na dinamičke kvantne fazne prelaze (DQPT), momente kad se svojstva kvantnog sistema naglo menjaju tokom njegove evolucije.

„Pošto je vreme najprirodnija varijabla podložna preciznoj kontroli u kvantnom računarstvu, prepoznali smo da DQPT pruža idealan vremenski okvir za ’skeniranje’ i otkrivanje ovih matematičkih nula“.

Dva kvantna sistema

Prvo su konstruisana dva komplementarna kvantna sistema, sastavljena od sistema više tela uparenog sa jednim probacionim kubitom. Oba sistema se pripremaju u termalnoj ravnoteži, a zatim se tokom vremena izvode iz nje. U ovoj postavci, dve komponente kompleksnog argumenta zeta-funkcije postaju fizičke varijable: realni deo odgovara temperaturi sistema, a imaginarni deo odgovara vremenu evolucije.

U ovom okviru, fazni prelaz se može dogoditi samo ako je sistem pripremljen na preciznoj temperaturi duž kritične linije. Opažanje takvog prelaza na bilo kojoj drugoj temperaturi signaliziralo bi slom Rimanove hipoteze unutar ovog fizičkog mapiranja.

Da bi ovo testirali, istraživači su napravili prvi sistem na procesoru nuklearne magnetne rezonance (NMR) od pet kubita, koristeći nuklearne spinove molekula sa tri atoma fluora i dva atoma vodonika, pri čemu je jedan spin služio kao probacioni. Procesor je pokrenut u tri postavke: na kritičnoj liniji, van kritične linije i na imaginarnom delu koji odgovara prvoj netrivijalnoj nuli.

„Samo kad su parametri istovremeno zadovoljavali oba uslova – nalazili se na kritičnoj liniji i bili jednaki Rimanovoj nuli – posmatrani signal je potpuno nestao, ukazujući da se dogodio dinamički kvantni fazni prelaz“, kažu autori.

Drugi sistem je izgrađen oko srodne veličine zvane Lošmitova amplituda. Umesto na hardveru, testiran je putem numeričke simulacije, proširujući korespondenciju do bilionite nule. Istraživači su takođe predložili kvantni algoritam na bazi kapije, sposoban da implementira bilo koji sistem koristeći samo polinomske resurse.

Pronalaženje nula

NMR eksperiment je dao jasan rezultat. Kad je sistem bio podešen na kritičnu liniju, koherencija probacionog kubita se urušila u tačkama koje se poklapaju sa prvih pet netrivijalnih nula zeta-funkcije. Van kritične linije, takvih urušavanja nije bilo. Ovo urušavanje je zapravo dinamički fazni prelaz. Trenutak kad kvantni signal probacionog kubita padne na nulu označava mesto gde je detektovana nula zeta-funkcije.

Numerička simulacija drugog sistema pokazala je isti odnos nula-urušavanje do bilionite nule, pri čemu su se lokacije simuliranih nula poklapale sa pravim, poznatim vrednostima preciznije kod većih nula.

Istraživači kažu da njihov rad nije rigorozan matematički dokaz Rimanove hipoteze, pošto eksperimenti i simulacije mogu proveriti samo konačan broj nula.

„Istinski značaj je u obezbeđivanju radikalno novog, skalabilnog alata sa jasnom kvantnom prednošću. Klasično, simulacija gustih, masivnih brojčano-teorijskih funkcija ili verifikacija nula ekstremno daleko na kritičnoj liniji postaje eksponencijalno skupa. Naš predloženi digitalni kvantni okvir zahteva samo polinomske resurse“.

Istraživači su izložili tri pravca za budući rad. Prvi je povećavanje razmera hardvera, prelazak sa petokubitne demonstracije na veće digitalne kvantne platforme sposobne za razrešavanje nula mnogo višeg reda. Drugi je proširenje na primene u fizici izvan teorije brojeva, uključujući upotrebu istog okvira za računanje Vitenovog indeksa u teoriji struna ili za ispitivanje termodinamičkih svojstava crnih rupa. Treći je proširivanje pristupa na druge nerešene probleme u matematici.

„Pošto se Rimanova zeta-funkcija može mapirati na kvantnu dinamiku, to nas inspiriše da se zapitamo da li druge misterije u teoriji brojeva – kao što su generalizovane L-funkcije ili strukturna svojstva povezana sa drugim aritmetičkim konjekturama – imaju sopstvene fizičke ‘blizance’ koji čekaju da budu otkriveni u kvantnim sistemima više tela“, kažu autori studije.

(Telegraf Nauka/Phys.org)